京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{2}$

条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$,$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$.

また,R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおける.

直線 QR と直線 PC が交点をもつとき,その交点を S とすると,$s$,$t$ を実数として

\begin{align*}
\overrightarrow{\rm OS} & =(1-s)\,\overrightarrow{\rm OQ}+s\,\overrightarrow{\rm OR} \\
& =\frac{1-s}{2}\overrightarrow{\rm OB}+sk(\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}+3\,\overrightarrow{\rm OC}) \\
& = sk\,\overrightarrow{\rm OA}+\left(\frac{1-s}{2}+2sk\right)\overrightarrow{\rm OB}+3sk\,\overrightarrow{\rm OC}
\end{align*}

また

\begin{align*}
\overrightarrow{\rm OS} & =(1-t)\,\overrightarrow{\rm OP}+t\,\overrightarrow{\rm OC} \\
& =\frac{1-t}{3}\overrightarrow{\rm OA}+t\,\overrightarrow{\rm OC}
\end{align*}

と表される.

O,A,B,C は同一平面上にないので

    $sk =\dfrac{1-t}{3}$ かつ $\dfrac{1-s}{2}+2sk =0$ かつ $3sk =t$

が成り立つ.

第1式と第3式より $t=\dfrac{1}{2}$.第3式に代入して $sk=\dfrac{1}{6}$.第2式に代入すると $\dfrac{1-s}{2}+\dfrac{1}{3}=0$.

よって $s=\dfrac{5}{3}$.これより $k=\dfrac{1}{10}$.ゆえに $\rm OR : RD = 1 : 9$.