極限値の計算

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{2k-1}{n}$ を求める．

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{2k-1}{n} & =\lim_{n\to\infty}\frac12\frac{2}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{2k-1}{n} \\
& =\frac12\int_0^2\log x\,dx
\end{align*}

ここで

$\displaystyle\int_0^2\log x\,dx=\lim_{\varepsilon\to +0}\int_\varepsilon^2\log x\,dx=\lim_{\varepsilon\to +0}\left[x\log x -x\right]_\varepsilon^2=\lim_{\varepsilon\to +0}(2\log 2-2-\epsilon\log\epsilon+\epsilon)=2\log 2 -2.$*1

ゆえに　$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{2k-1}{n}=\log 2 -1.$

*1:$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0$ を用いた．