大阪大学2023前期理系数学解答 $\fbox{2}$

(1) $2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}={\bf u}$，$\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf v}$ とおくと，$\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})$ となるので，与えられた条件は

\[ |\,{\bf u}\,|=|\,{\bf v}\,|=1　かつ　{\bf u}\cdot\frac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})=\frac{1}{3} \]

と表される．

大阪大学2023前期理系数学解答 $\fbox{1}$

(1) $f(x)=\dfrac{1}{2}x^n$，$\displaystyle g(x)=(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-x)^{{k}-1}\right\}$，$h(x)=x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$ とおく．

ここで

\begin{align*}
 g(x) & =(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1+x-x^2+x^3-\cdots -(-x)^{n-1}\right\} \\
 & = (-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}+(-1)\cdot\frac{1-(-x)^n}{1-(-x)}\right\} \\
 & = (-1)^n\cdot\frac{1-1+(-x)^n}{x+1} \\
 & = \frac{x^n}{x+1}．
\end{align*}

京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{5}$

$\displaystyle f(x)+\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}$　より

\[ f(x)+x^2\int_{-1}^1f(y)\,dy-2x\int_{-1}^1yf(y)\,dy+\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}. \]

$\displaystyle\int_{-1}^1f(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1yf(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy$ は定数だから，上式より $f(x)$ はたかだか 2 次の整関数であることが分かるので，定数 $a$，$b$，$c$ を用いて $f(x)=3ax^2+3bx+3c$ とおく．

京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{4}$

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ．

この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$．

また　$(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと

\begin{align}
 (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\right\}2^n \\ 
 n(a_{n+1}-a_n) & = n(n+3)2^n
\end{align}

京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{3}$

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ．

(2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする．

余弦定理より　$x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$．

また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{2}$

理系の $\fbox{2}$ と同じ．

京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{1}$

問1　理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ．

問2　$\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$．

$4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$　より　$(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$．

さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$　より　$(9x+7)(81x^2-63x+49)=729x^3+343=2187+343=2530$．