大阪大学2023前期理系数学解答 $\fbox{2}$

(1) $2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}={\bf u}$，$\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf v}$ とおくと，$\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})$ となるので，与えられた条件は

\[ |\,{\bf u}\,|=|\,{\bf v}\,|=1　かつ　{\bf u}\cdot\frac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})=\frac{1}{3} \]

と表される．

第2式より　${\bf u}\cdot{\bf u}+{\bf u}\cdot{\bf v}=1$　が得られ，第1式より ${\bf u}\cdot{\bf u}=1$ であるから　${\bf u}\cdot{\bf v}=0$．

すなわち　$(2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\cdot(\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB})=0$　となる．

(2) $\bf u$，$\bf v$ はどちらも $\overrightarrow{0}$ でなく．平行でないので，$\bf u$，$\bf v$ と同じ平面上にあるベクトル $\overrightarrow{\rm OP}$ は，実数 $x$，$y$ を用いて $\overrightarrow{\rm OP}=x\,{\bf u}+y\,{\bf v}$ と表すことができる．

$\bigg|\overrightarrow{\rm OP}-(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\bigg|\le \dfrac{1}{3}$　より　$\bigg|x\,{\bf u}+y\,{\bf v}-\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})\bigg|\le\dfrac{1}{3}$．

すなわち　$\bigg|\left(x-\dfrac{1}{3}\right){\bf u}+\left(y-\dfrac{1}{3}\right){\bf v}\bigg|\le\dfrac{1}{3}$．よって　$\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2\le\dfrac{1}{9}$．

また　$\overrightarrow{\rm OP}\cdot(2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB})\le \dfrac{1}{3}$　より　$(x\,{\bf u}+y\,{\bf v})\cdot{\bf u}\le\dfrac{1}{3}$．よって　$x\le\dfrac{1}{3}$．

以上より，点 P$'(x, y)$ の存在範囲は下図の斜線部分で境界線上の点を含む．

　　　　　　　　　　　　

よって，$\Big|\overrightarrow{\rm OP}\Big|=\sqrt{x^2+y^2}$ 　が最大になるのは P$'$ が D$\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\right)$ にあるときで，最大値は　$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$．

最小になるのは P$'$ が F にあるときで，最小値は　$\dfrac{\sqrt{2}}{3}-\dfrac{1}{3}$．ただし，点 F は円の中心 C と原点を結ぶ線分と円の交点である．