京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{5}$

$\displaystyle f(x)+\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}$　より

\[ f(x)+x^2\int_{-1}^1f(y)\,dy-2x\int_{-1}^1yf(y)\,dy+\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}. \]

$\displaystyle\int_{-1}^1f(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1yf(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy$ は定数だから，上式より $f(x)$ はたかだか 2 次の整関数であることが分かるので，定数 $a$，$b$，$c$ を用いて $f(x)=3ax^2+3bx+3c$ とおく．

このとき

\begin{align*}
 \int_{-1}^1f(y)\,dy & =2\int_0^1(3ay^2+3c)\,dy=2\Big[\,ay^3+3cy\Big]_0^1=2(a+3c) \\
 \int_{-1}^1yf(y)\,dy & = 2\int_0^13by^2\,dy=2\Big[\,by^3\Big]_0^1=2b \\
 \int_{-1}^1y^2f(y)\,dy & = 2\int_0^1(3ay^4+3cy^2)\,dy=2\Big[\,\frac{3}{5}ay^5+cy^3\Big]_0^1=2\left(\frac{3}{5}a+c\right)
\end{align*}

これらを最初の式に代入し，両辺の係数を比較すると

\begin{align}
\begin{cases}
 3a+2(a+3c)=2 \cr
 3b-4b=1 \cr
 3c+2\left(\dfrac{3}{5}a+c\right)=\dfrac{5}{3}
\end{cases}
\end{align}

第1式と第3式より $a=0$，$c=\dfrac{1}{3}$．第2式より $b=-1$．

よって $f(x)=-3x+1$．