(1) $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$, $\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.

対称性を考慮すると，点P$(t, 0, 0)$，点Q$(0, 1-t, 0)$ を結ぶ線分PQが，$t$ が $0\le t \le 1$ の範囲で変化するときに $xy$ 平面上で通過する領域（これを$A$とする）を，$x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を2倍したものが，求める立体の体積にな…

$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$ とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$ $g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$ とおくと $g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$ であるから，下の増減表…

(1) 1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので，$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$． よって，$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．

条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$． また，R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおけ…

問1 $u=\log(x^2)$，$v'=\sqrt{x}$ と考えて部分積分する． \begin{align*}\int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)dx & =\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log(x^2)\,\right]_1^4-\int_1^4\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{x}dx \\& =\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 4…

リュカ数列 $a_0=2,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする． すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=2+x+3x^2+4x^3+7x^4+11x^5+18x^6+29x^7+\cdots. \]

フィボナッチ数列 $a_0=0,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする． すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0+x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots. \]

数列 $a_n=n$ の母関数を $f(x)$ とする．すなわち \[ f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} nx^n. \]