(1) $2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}={\bf u}$，$\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf v}$ とおくと，$\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})$ となるので，与えられた…

(1) $f(x)=\dfrac{1}{2}x^n$，$\displaystyle g(x)=(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-x)^{{k}-1}\right\}$，$h(x)=x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$ とおく． ここで \begin{align*} g(x) & =(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1+x-x^2+x^3-\cdots -(-x)^{n-1}…

$\displaystyle f(x)+\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}$ より \[ f(x)+x^2\int_{-1}^1f(y)\,dy-2x\int_{-1}^1yf(y)\,dy+\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}. \] $\displaystyle\int_{-1}^1f(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1yf(y)\…

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ． この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$． また $(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと \begin{align} (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\r…

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ． (2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする． 余弦定理より $x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$． また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

理系の $\fbox{2}$ と同じ．

問1 理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ． 問2 $\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$． $4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$ より $(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$． さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$ より $(9x…

(1) $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$, $\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.

対称性を考慮すると，点P$(t, 0, 0)$，点Q$(0, 1-t, 0)$ を結ぶ線分PQが，$t$ が $0\le t \le 1$ の範囲で変化するときに $xy$ 平面上で通過する領域（これを$A$とする）を，$x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を2倍したものが，求める立体の体積にな…

$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$ とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$ $g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$ とおくと $g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$ であるから，下の増減表…

(1) 1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので，$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$． よって，$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．

条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$． また，R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおけ…

問1 $u=\log(x^2)$，$v'=\sqrt{x}$ と考えて部分積分する． \begin{align*}\int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)dx & =\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log(x^2)\,\right]_1^4-\int_1^4\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{x}dx \\& =\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 4…

リュカ数列 $a_0=2,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする． すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=2+x+3x^2+4x^3+7x^4+11x^5+18x^6+29x^7+\cdots. \]

フィボナッチ数列 $a_0=0,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする． すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0+x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots. \]

数列 $a_n=n$ の母関数を $f(x)$ とする．すなわち \[ f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} nx^n. \]

糸の両端を固定して垂らしたときに，糸がつくる曲線を懸垂線（カテナリー）という．変分法を用いて，この曲線の方程式を求める．

双曲線関数 ， は，以下の性質をもつ． ， は微分方程式 を満たす． は微分方程式 を満たす． ， はともに，微分方程式 を満たす．

水平方向に $x$ 軸，鉛直下方に $y$ 軸をとる．原点から，曲線 $y=y(x)$ に沿って降下する物体が，点$(x_1,y(x_1))$ まで最速で到達するような曲線を求める．

関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ． $f=f(y, y')$ とする．\[ \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\lef…

年末から正月まで， 12月25日から29日まで，野沢温泉でスキー．前の週の大雪で，それまで雪がなかった下のゲレンデにも雪が積もり滑走できるようになったそうだ．26日はまだ雪が降り続いていたが，27日から快晴．ゴンドラで上に上がると旅館街は雲海の中だっ…

MathJax でギリシャ文字を表示したところ，η，σ，τ の3文字がうまく出ない． $\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon \zeta \theta \vartheta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi o \pi \varpi \rho \varrho \varsigma \upsilon \phi \varphi \chi…

積分 \[ I=\int_a^bf(x,y,y')\,dx \] が停留値をとるような関数 $y=y(x)$ を求めることを考える． $y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)$，$\delta(a)=\delta(b)=0$ とおく． $\delta(x)$ は 関数 $y_0(x)$ に対する変分を表す関数． 任意の $\delta(x)$ …