京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{3}$

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ．

(2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする．

余弦定理より　$x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$．

また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

よって $\cos 2\theta=-\cos 3\theta$．(1) の結果を用いて

\begin{align*}
 2\cos^2\theta-1 & =-(4\cos^3\theta-3\cos\theta) \\
 4\cos^3\theta+2\cos^2\theta-3\cos\theta-1 & =0 \\
 (\cos\theta+1)(4\cos^2\theta-2\cos\theta-1) & =0
\end{align*}

$\cos\theta>0$ であるから $\cos\theta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$．すなわち $\cos 2\theta=2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$．

したがって　$x^2=2\left(1-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$．

ここで $2.2<\sqrt{5}<2.3$ であるから $1.35<x^2<1.4$．

一方 $1.15^2=1.3225$ なので $1.15^2<x^2$．$x>0$ であるから $x>1.15$．

ゆえに，半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さは 1.15 より大きい．