数学
リュカ数列 $a_0=2,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする. すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=2+x+3x^2+4x^3+7x^4+11x^5+18x^6+29x^7+\cdots. \]
フィボナッチ数列 $a_0=0,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする. すなわち \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0+x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots. \]
数列 $a_n=n$ の母関数を $f(x)$ とする.すなわち \[ f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} nx^n. \]
糸の両端を固定して垂らしたときに,糸がつくる曲線を懸垂線(カテナリー)という.変分法を用いて,この曲線の方程式を求める.
双曲線関数 , は,以下の性質をもつ. , は微分方程式 を満たす. は微分方程式 を満たす. , はともに,微分方程式 を満たす.
水平方向に $x$ 軸,鉛直下方に $y$ 軸をとる.原点から,曲線 $y=y(x)$ に沿って降下する物体が,点$(x_1,y(x_1))$ まで最速で到達するような曲線を求める.
関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を,ベルトラミの公式と呼ぶ. $f=f(y, y')$ とする.\[ \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\lef…
MathJax でギリシャ文字を表示したところ,η,σ,τ の3文字がうまく出ない. $\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon \zeta \theta \vartheta \iota \kappa \lambda \mu \nu \xi o \pi \varpi \rho \varrho \varsigma \upsilon \phi \varphi \chi…
積分 \[ I=\int_a^bf(x,y,y')\,dx \] が停留値をとるような関数 $y=y(x)$ を求めることを考える. $y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)$,$\delta(a)=\delta(b)=0$ とおく. $\delta(x)$ は 関数 $y_0(x)$ に対する変分を表す関数. 任意の $\delta(x)$ …
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{2k-1}{n}$ を求める.
の値を求める.