(1) $2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}={\bf u}$，$\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf v}$ とおくと，$\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})$ となるので，与えられた…

(1) $f(x)=\dfrac{1}{2}x^n$，$\displaystyle g(x)=(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-x)^{{k}-1}\right\}$，$h(x)=x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$ とおく． ここで \begin{align*} g(x) & =(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1+x-x^2+x^3-\cdots -(-x)^{n-1}…

$\displaystyle f(x)+\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}$ より \[ f(x)+x^2\int_{-1}^1f(y)\,dy-2x\int_{-1}^1yf(y)\,dy+\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}. \] $\displaystyle\int_{-1}^1f(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1yf(y)\…

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ． この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$． また $(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと \begin{align} (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\r…

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ． (2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする． 余弦定理より $x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$． また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

理系の $\fbox{2}$ と同じ．

問1 理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ． 問2 $\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$． $4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$ より $(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$． さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$ より $(9x…