京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{4}$

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ．

この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$．

また　$(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと

\begin{align}
 (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\right\}2^n \\ 
 n(a_{n+1}-a_n) & = n(n+3)2^n
\end{align}

$n\ne 0$ であるから

\[ a_{n+1}-a_n=(n+3)\cdot 2^n~~(n=1, 2, 3, \cdots) \]

したがって

\[ n\ge 2 ~のとき　a_n=3+\sum_{k=1}^{n-1}(k+3)\cdot 2^k \]

ここで $\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n(k+3)\cdot 2^k$ とおくと $\displaystyle 2T_n=\sum_{k=1}^n(k+3)\cdot 2^{k+1}=\sum_{k=2}^{n+1}(k+2)\cdot 2^k$ となるので

\begin{align}
 2T_n-T_n & = (n+3)\cdot 2^{n+1}-\sum_{k=2}^n2^k-4\cdot 2 \\
 T_n & =(n+3)\cdot 2^{n+1}-4\cdot\frac{2^{n-1}-1}{2-1}-8 \\
 & =(n+3)\cdot 2^{n+1}-2^{n+1}+4-8 \\
 & =(n+2)\cdot 2^n-4
\end{align}

よって $a_n=3+T_{n-1}=3+(n+1)\cdot 2^n-4=(n+1)\cdot 2^n-1$．これは $n=1$ のときも成り立つ．

ゆえに $a_n=(n+1)\cdot 2^n-1~~(n=1, 2, 3, \cdots)$．