オイラーの微分方程式
\[ I=\int_a^bf(x,y,y')\,dx \]
が停留値をとるような関数 $y=y(x)$ を求めることを考える．
$y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)$，$\delta(a)=\delta(b)=0$ とおく．
$\delta(x)$ は 関数 $y_0(x)$ に対する変分を表す関数．
任意の $\delta(x)$ について $\varepsilon=0$ における積分 $I$ の変化量が$0$になる条件を求めればよく，この条件は
\[ \left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0 \]
と表される．
$\displaystyle\frac{dI}{d\varepsilon}$ は部分積分を用いて
\begin{align*}
\frac{dI}{d\varepsilon} & =\frac{d}{d\varepsilon}\int_a^bf(x,y,y')\,dx \\\
& =\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varepsilon}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \varepsilon}\right)\,dx \\\
& =\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\delta'(x)\right)\,dx \\\
& =\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x)\,dx+\left[\frac{\partial f}{\partial y'}\delta(x)\right]_a^b-\int_a^b\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta(x)\,dx \\\
& =\int_a^b\left\{\frac{\partial f}{\partial y}\delta(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta(x)\right\}dx \\\
& =\int_a^b\left\{\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\right\}\delta(x)dx .
\end{align*}
となる．
これより，任意の $\delta(x)$ について $\displaystyle\left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0$ が成り立つための条件は，
\[ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0 \]
