(1) $2\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}={\bf u}$，$\overrightarrow{\rm OA}+2\,\overrightarrow{\rm OB}={\bf v}$ とおくと，$\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{1}{3}({\bf u}+{\bf v})$ となるので，与えられた…

(1) $f(x)=\dfrac{1}{2}x^n$，$\displaystyle g(x)=(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-x)^{{k}-1}\right\}$，$h(x)=x^n-\dfrac{1}{2}x^{n+1}$ とおく． ここで \begin{align*} g(x) & =(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1+x-x^2+x^3-\cdots -(-x)^{n-1}…

$\displaystyle f(x)+\int_{-1}^1(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}$ より \[ f(x)+x^2\int_{-1}^1f(y)\,dy-2x\int_{-1}^1yf(y)\,dy+\int_{-1}^1y^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}. \] $\displaystyle\int_{-1}^1f(y)\,dy$，$\displaystyle\int_{-1}^1yf(y)\…

$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$ は $n=1$ のときも成り立つ． この式より $na_n=S_n+n(n-1)2^n$． また $(n+1)a_n=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}$ となるので，これらを辺々ひくと \begin{align} (n+1)a_{n+1}-na_n & =a_{n+1}+\left\{2n(n+1)-n(n-1)\r…

(1) 理系 $\fbox{6}$ (1) と同じ． (2) 正五角形の一辺の長さを $x$ とし，$\dfrac{\pi}{5}=\theta$ とする． 余弦定理より $x^2=1+1-2\cos 2\theta=2(1-\cos 2\theta)$． また $5\theta=\pi$ より $2\theta=\pi-3\theta$．

理系の $\fbox{2}$ と同じ．

問1 理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ． 問2 $\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$． $4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$ より $(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$． さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$ より $(9x…

(1) $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$, $\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.

対称性を考慮すると，点P$(t, 0, 0)$，点Q$(0, 1-t, 0)$ を結ぶ線分PQが，$t$ が $0\le t \le 1$ の範囲で変化するときに $xy$ 平面上で通過する領域（これを$A$とする）を，$x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を2倍したものが，求める立体の体積にな…

$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$ とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$ $g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$ とおくと $g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$ であるから，下の増減表…

(1) 1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので，$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$． よって，$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．

条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$． また，R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおけ…

問1 $u=\log(x^2)$，$v'=\sqrt{x}$ と考えて部分積分する． \begin{align*}\int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)dx & =\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log(x^2)\,\right]_1^4-\int_1^4\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{x}dx \\& =\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 4…