京都大学2023前期文系数学解答 $\fbox{1}$

入試問題解答

問1　理系 $\fbox{3}$ (1) と同じ．

 

問2　$\sqrt[3]{3}=x$ とおくと，$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5$．また $x^3=3$．

$4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)-9x-5$　より　$(2x^2+x+5)(2x-1)=4x^3+9x-5=9x+7$．

 

さらに， $729x^3=(9x+7)(81x^2-63x+49)-343$　より　$(9x+7)(81x^2-63x+49)=729x^3+343=2187+343=2530$．

したがって

\begin{align*}
 \frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5} & =\frac{55}{2x^2+x+5} \\
  & = \frac{55(2x-1)}{9x+7} \\
  & = \frac{55(2x-1)(81x^2-63x+49)}{2530} \\
  & = \frac{162x^3-207x^2+161x-49}{46} \\
  & = \frac{437-207\sqrt[3]{9}+161\sqrt[3]{3}}{46} \\
  & = \frac{19-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}}{2}.
\end{align*}