懸垂線
糸の両端を固定して垂らしたときに，糸がつくる曲線を懸垂線（カテナリー）という．変分法を用いて，この曲線の方程式を求める．
糸の線密度を $\rho$ とし，両端を点 $(-x_0,y_0)$ と点 $(x_0,y_0)$ に固定する．また，糸の長さを $L$ とする．
束縛条件
\[ L=\int_{-x_0}^{x_0} \sqrt{1+y'^2}\,dx \]
のもとで，糸の位置エネルギー $U$ が最小になるような曲線 $y=y(x)$ を求めればよい．
\[ U=\int_0^L g\rho y \,ds=g\rho \int_{-x_0}^{x_0} y\sqrt{1+y'^2}\,dx \]
以下，$g$，$\rho$ は定数であるので積分の部分のみを考える．
Lagrange の未定乗数法を用いて
\[ \int_{-x_0}^{x_0} y\sqrt{1+y'^2}\,dx-\lambda\int_{-x_0}^{x_0} \sqrt{1+y'^2}\,dx=\int_{-x_0}^{x_0}(y-\lambda)\sqrt{1+y'^2}\,dx \]
とし，$f=(y-\lambda)\sqrt{1+y'^2}$ がベルトラミの公式を満たすように $y$ を定める．
\[ \frac{\partial f}{\partial y'}=(y-\lambda)\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \]
であるから
\[ (y-\lambda)\sqrt{1+y'^2}-y'\cdot(y-\lambda)\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=C \]
よって
\[ \frac{y-\lambda}{\sqrt{1+y'^2}}=C \]
これより
\[ \left(\frac{y-\lambda}{C}\right)^2=1+y'^2 \]
となるので $\displaystyle\frac{y-\lambda}{C}=u$ とおくと
\[ \frac{du}{dx}=\pm\frac{1}{C}\sqrt{u^2-1} \]
が得られる．したがって
\[ \int\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\pm\frac{1}{C}\int dx \]
左辺の積分は $u=\cos{\rm \!h}\, t$ とおいて置換積分ができる．$du=\sin{\rm \!h}\, t \,dt$，$\sqrt{u^2-1}=\sin{\rm \!h}\, t$ より
\[ \int\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=\cos{\rm \!h}^{-1}\,u \]
ゆえに
\[ y=C\cos{\rm \!h}\left(\frac{x}{C}+D\right)+\lambda \]
積分定数 $D$ は，$y$ は $y$ 軸対称であることを考慮すると $D=0$ となり，定数 $C$ および $\lambda$ の値は，$(\pm x_0, y_0)$ を通ることと曲線の長さ $L$ から定めることができる．以上より
\[ y=C\cos{\rm \!h}\left(\frac{x}{C}\right)+\lambda \]
が求める方程式である．
【参考文献】
