数列 $a_n=n$ の母関数

数列 $a_n=n$ の母関数を $f(x)$ とする．すなわち

\[ f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} nx^n. \]

このとき

\[ f(x)-xf(x)=x+x^2+x^3+x^4+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{x}{1-x} \]

であるから

\[ f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}. \]

ここで

\[ f\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{81}{100}}=\frac{10}{81} \]

より

\[ \frac{10}{81}=0.1+0.02+0.003+0.0004+0.00005+\cdots=0.123456790123\cdots. \]

また

\[ f\left(\frac{1}{100}\right)=\frac{\dfrac{1}{100}}{\left(\dfrac{99}{100}\right)^2}=\frac{100}{99^2} \]

より

\[ \frac{100}{99^2}=0.01+0.0002+0.000003+0.00000004+0.0000000005+\cdots=0.010203040506\cdots. \]

【参考】『連分数のふしぎ』木村俊一　講談社BLUE BACKS