リュカ数列の母関数

リュカ数列 $a_0=2,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする．

すなわち

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=2+x+3x^2+4x^3+7x^4+11x^5+18x^6+29x^7+\cdots. \]

このとき

\[ f(x)-xf(x)-x^2f(x)=2-x \]

であるから

\[ f(x)=\frac{2-x}{1-x-x^2}. \]

ここで

\[ f\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{2-\dfrac{1}{10}}{1-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{100}}=\frac{190}{89} \]

より

\[ \frac{1}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}=0.2+0.01+0.003+0.0004+0.00007+0.000011+0.0000018+\cdots=\frac{19}{89}. \]