京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{1}$

問1

$u=\log(x^2)$，$v'=\sqrt{x}$　と考えて部分積分する．

\begin{align*}
\int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)dx & =\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log(x^2)\,\right]_1^4-\int_1^4\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{x}dx \\
& =\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 4\log 2-\frac{4}{3}\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\,\right]_1^4 \\
& =\frac{64}{3}\log 2-\frac{8}{9}(8-1) \\
& =\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}.
\end{align*}

問2

$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$　とおく．

$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$　より　$x^5=(x-1)p(x)+1$．

よって

\begin{align*}
x^{2023}-1 & =(x^5)^{404}\cdot x^3-1 \\
& = \{(x-1)p(x)+1\}^{404}\cdot x^3-1 \\
\end{align*}

$\{(x-1)p(x)+1\}^{404}$　を二項定理で展開すると，ある $x$ の整式 $Q(x)$ が存在して

\begin{align*}
x^{2023}-1 & = Q(x)\cdot p(x)+x^3-1
\end{align*}

と表すことができる．

ゆえに，求める余りは　$x^3-1$．