フィボナッチ数列の母関数

フィボナッチ数列 $a_0=0,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする．

すなわち

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0+x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots. \]

このとき

\[ f(x)-xf(x)-x^2f(x)=x \]

であるから

\[ f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}. \]

ここで

\[ f\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{\dfrac{1}{10}}{1-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{100}}=\frac{10}{89} \]

より

\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}=0.1+0.01+0.002+0.0003+0.00005+0.000008+0.0000013+\cdots=\frac{10}{89}. \]