京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{4}$

$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$　とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$

$g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$　とおくと　$g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$　であるから，下の増減表より　$-1\le x \le 1$　のとき　$g(x)>0$．

 　　　　　　　　$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
 x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline
g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline
g(x) & \frac{4}{e}-1 & \nearrow & 極大 ~3 & \searrow & \frac{4}{e}-1 \\ \hline
 \end{array}$

したがって $t$ の増減は下の表のとおりである．

 　　　　　　　　$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline
 x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline
\frac{dt}{dx} & & + & 0 & - & \\ \hline
t & \frac{1}{e}+\frac{5}{4} & \nearrow & 極大 ~2 & \searrow & \frac{1}{e}+\frac{5}{4}  \\ \hline
 \end{array}$

以上より　$-1\le x \le 1$　のとき　$\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}\le t \le 2$．

$f(x)=t+\dfrac{1}{t}~~\left(\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}\le t \le 2\right)$　と表されるので　$\dfrac{d}{dt}f(x)=1-\dfrac{1}{t^2}=\dfrac{t^2-1}{t^2}$　より　$\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}\le t \le 2$　のとき　$\dfrac{d}{dt}f(x)>0$．

したがって　$f(x)=t+\dfrac{1}{t}$　は　$\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}\le t \le 2$　の範囲で単調に増加する．

ゆえに　$f(x)$ の

　　最大値は　$f(0)=\dfrac{5}{2}$

　　最小値は　$f(\pm 1)=\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{e}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{5e+4}{4e}+\dfrac{4e}{5e+4}$．