京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{3}$

(1)

1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので,$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.

よって,$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.

(2)

$Y$ が 5 で割り切れないという事象を $A$,$Y$ が 3 で割り切れないという事象を $B$ とする.

(1) より $P(A)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.

また,1 回でも 3 または 6 の目が出れば $Y$ は 3 で割り切れるので $P(B)=\left(\dfrac{4}{6}\right)^n$.

$A\cap B$ は $Y$ が 3 でも 5 でも割り切れないという事象で,これが起きるには $n$ 回とも 3,5,6 以外の目が出るとよいので $P(A\cap B)=\left(\dfrac{3}{6}\right)^n$.

よって

\[ P(A\cup B)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^n+\left(\dfrac{4}{6}\right)^n-\left(\dfrac{3}{6}\right)^n \]

$Y$ が 15 で割り切れるという事象は $\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$ であるから,求める確率は

\[ P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-\left\{\left(\dfrac{5}{6}\right)^n+\left(\dfrac{4}{6}\right)^n-\left(\dfrac{3}{6}\right)^n\right\}=\frac{6^n-5^n-4^n+3^n}{6^n} \]