京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{6}$

(1)

$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$,

$\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.

(2)

まず，$n$ が 3 以上の整数のとき，次の命題 (a) が成り立つことを示す．

　　　命題 (a)　$\cos n\theta=f_n(\cos\theta)$ となる整数係数の $n$ 次の整式 $f_n(x)$ が存在し，

　　　　　　　かつ，$f_n(x)$ の $x^n$ の係数は $2^{n-1}$ である．

(1) の結果より $f_3(x)=2^2x^3-3x$，$f_4(x)=2^3x^4-8x^2+1$ であることが分かる．

したがって $n=3, 4$ のとき，上の (a) は成り立つ．

いま $n=k,\,k+1~(k\,は\, 3\, 以上の整数)$ のとき (a) が成り立つと仮定する．

\[ \cos(k+2)\theta+\cos k\theta = 2\cos(k+1)\theta\,\cos\theta \]

より

\[ \cos(k+2)\theta=2\cos(k+1)\theta\,\cos\theta-\cos k\theta=2f_{k+1}(\cos\theta)\cos\theta-f_k(\cos\theta). \]

$f_{k+1}(x)$ は $k+1$ 次，$f_k(x)$ は $k$ 次の整式であるから，上の式より $\cos(k+2)\theta=f_{k+2}(\cos\theta)$ となる整数係数の $k+2$ 次の整式 $f_{k+2}(x)$ が存在することが分かる．

また，$f_{k+1}(x)$ の $x^{k+1}$ の係数を 2 倍したものが $f_{k+2}(x)$ の $x^{k+2}$ の係数になることも示している．

以上より，$n=k+2$ のときも (a) が成り立つことが示されたので，3 以上のすべての整数 $n$ について (a) が成り立つことが証明された．

さて，${m}$ が正の整数のとき $\cos\dfrac{m}{1}\pi$，$\cos\dfrac{m}{2}\pi$ の値はいずれも整数で，$p$ は 3 以上の素数なので，$\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となる正の整数 ${m}$，$n$ が存在すれば，$n$ は3以上の整数である．以下，$n$ は3以上の整数とする．

いま $\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となる正の整数 ${m}$，$n$ が存在したと仮定する．このとき

\[ \cos n\theta=\cos n\cdot\frac{m}{n}\cdot\pi=\cos m\pi= 1~または~ -1 \]

であるから， $\left| f_n\left(\dfrac{1}{p}\right)\right|=1$ すなわち

\[ \left| \, 2^{n-1}\left(\frac{1}{p}\right)^n+g_n\left(\frac{1}{p}\right)\right|=1　(ただし\, g_n(x) \,は\, n-1 \, 次以下の整式) \]

が得られる．両辺を $p^{n-1}$ 倍すると

\[ \left| \frac{2^{n-1}}{p}+p^{n-1}\cdot g_n\left(\frac{1}{p}\right)\right|=p^{n-1} \]

$g_n(x)$ は $n-1$ 次以下の整式なので，$p^{n-1}\cdot g_n\left(\dfrac{1}{p}\right)$ は整数である，したがって，$\dfrac{2^{n-1}}{p}$ も整数でなければならないが，$p$ は 3 以上の素数なのでこれは矛盾である．

ゆえに $\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のとき $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となる正の整数 ${m}$，$n$ は存在しない．