ベルトラミの公式

数学

関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ．

$f=f(y, y')$ とする．
\[    \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right)    \]
また，オイラーの方程式に $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ をかけると
\[    y'\frac{\partial f}{\partial y}-y'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0    \]

上の二つの式から $\displaystyle y'\frac{\partial f}{\partial y}$ を消去し，積の微分公式を用いると
\begin{align*}
    \frac{df}{dx}    &    =y'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right)    \\
            &    =\frac{d}{dx}\left\{y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\right\}    
\end{align*}
すなわち
\[    \frac{d}{dx}\left\{f-y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\right\}=0    \]
となり
\[    f-y'\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=C~~(定数)    \]
が導かれる．これをベルトラミの公式と呼ぶ．