最速降下線
水平方向に $x$ 軸，鉛直下方に $y$ 軸をとる．
原点から，曲線 $y=y(x)$ に沿って降下する物体が，点$(x_1,y(x_1))$ まで最速で到達するような曲線を求める．
原点から点 $(x, y(x))$ までの曲線の長さを $s(x)$ とすると，物体の速さは $\displaystyle v=\frac{ds}{dt}$．
また，エネルギーの保存則より $\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgy$ だから $v=\sqrt{2gy}$．
したがって
\[ \frac{ds}{dt}=\sqrt{2gy} \]
これより
\[ dt=\frac{ds}{\sqrt{2gy}}=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2gy}}=\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx \]
よって，降下に要する時間は
\[ T=\int_0^{t(a)}dt=\int_0^a\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx \]
となり，これが最小になるような関数 $y(x)$ を求めればよい．
$\displaystyle f=\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}$ とおく．$f$ がオイラーの方程式を満たすように $y$ を決めるが，$f$ は陽に $x$ をもたないのでベルトラミの公式により $y$ を求める．
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{\mathstrut y}\sqrt{1+y'^2}}$ を $\displaystyle f-y'\cdot\frac{\partial f}{\partial y'}=C~(Cは定数)$ に代入することにより，微分方程式
\[ y(1+y'^2)=A~(Aは定数) \]
が得られる．これより
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} & =\sqrt{\frac{A-y}{y}} \\
x & =\int\sqrt{\frac{y}{A-y}}\,dy
\end{align*}
この積分を計算するために $y=A\sin^2\varphi$ とおくと，$dy=2A\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi$ であるから
\begin{align*}
\int\sqrt{\frac{y}{A-y}}\,dy & =2A\int\sin^2\varphi\,d\varphi \\
& =\frac{A}{2}(\theta-\sin\theta)+B
\end{align*}
となる．($2\varphi=\theta$ とおいた．$B$ は定数)
$y=0$ のとき $x=0$ でなければならないので $B=0$．よって
\[ x=\frac{A}{2}(\theta-\sin\theta),~~y=\frac{A}{2}(1-\cos\theta) \]
が得られる．これはサイクロイド曲線を表す．
【参考文献】
