フィボナッチ数列の母関数

フィボナッチ数列 $a_0=0,~a_1=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=0,1,2,\cdots)$ の母関数を $f(x)$ とする．

すなわち

\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0+x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots. \]

数列 $a_n=n$ の母関数

数列 $a_n=n$ の母関数を $f(x)$ とする．すなわち

\[ f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} nx^n. \]

懸垂線

糸の両端を固定して垂らしたときに，糸がつくる曲線を懸垂線（カテナリー）という．変分法を用いて，この曲線の方程式を求める．

双曲線関数

双曲線関数 ， は，以下の性質をもつ．

1. 
2. ，
3. 　は微分方程式　　を満たす．
   　は微分方程式　　を満たす．
4. ，　はともに，微分方程式　　を満たす．

最速降下線

水平方向に $x$ 軸，鉛直下方に $y$ 軸をとる．
原点から，曲線 $y=y(x)$ に沿って降下する物体が，点$(x_1,y(x_1))$ まで最速で到達するような曲線を求める．

ベルトラミの公式

関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ．

$f=f(y, y')$ とする．
\[    \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right)    \]
また，オイラーの方程式に $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ をかけると
\[    y'\frac{\partial f}{\partial y}-y'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0    \]

2023.01.10

年末から正月まで，

　12月25日から29日まで，野沢温泉でスキー．前の週の大雪で，それまで雪がなかった下のゲレンデにも雪が積もり滑走できるようになったそうだ．26日はまだ雪が降り続いていたが，27日から快晴．ゴンドラで上に上がると旅館街は雲海の中だった．泊ったのは桐屋旅館，猫で有名なところ．レンタルのスキーは，ここの女将さんが紹介してくれた日影ゲレンデにある St. Anton で借りた．滑り終えた後は翌朝まで預かってくれるので，旅館からゲレンデまで手ぶらで行けて楽．