京都大学2023前期理系数学解答 $\fbox{6}$
(1)
$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$,
$\cos 4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.
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対称性を考慮すると，点P$(t, 0, 0)$，点Q$(0, 1-t, 0)$ を結ぶ線分PQが，$t$ が $0\le t \le 1$ の範囲で変化するときに $xy$ 平面上で通過する領域（これを$A$とする）を，$x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を2倍したものが，求める立体の体積になる．
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$t=e^{-x^2}+\dfrac{1}{4}x^2*1~~(-1\le x \le 1)$ とおく．$\dfrac{dt}{dx}=e^{-x^2}\cdot(-2x)+\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{1}{2}x\,(4\,e^{-x^2}-1).$
$g(x)=4\,e^{-x^2}-1~~(-1\le x \le 1)$ とおくと $g'(x)=4\,e^{-x^2}\cdot(-2x)$ であるから，下の増減表より $-1\le x \le 1$ のとき $g(x)>0$．
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(1)
1 回でも 5 の目が出れば $Y$ は 5 で割り切れるので，$Y$ が 5 で割り切れない確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．
よって，$Y$ が 5 で割り切れる確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$．
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条件より $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}$，$\overrightarrow{\rm OQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$．
また，R は直線 OD 上にあるので $\overrightarrow{\rm OR}=k\,\overrightarrow{\rm OD}~(k\,は定数)$ とおける．
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問1
$u=\log(x^2)$，$v'=\sqrt{x}$ と考えて部分積分する．
\begin{align*}
\int_1^4\sqrt{x}\log(x^2)dx & =\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log(x^2)\,\right]_1^4-\int_1^4\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{x}dx \\
& =\frac{2}{3}\cdot 8\cdot 4\log 2-\frac{4}{3}\left[\,\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\,\right]_1^4 \\
& =\frac{64}{3}\log 2-\frac{8}{9}(8-1) \\
& =\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9}.
\end{align*}
